Computational Finance

22.09.2015

Deutsch

9783933207869

Uhlenbruch

Nein

Christian Fieberg

532

Gebundene Ausgabe

Eine Matlab, Octave und Freemat basierte Einführung

Matlab Grundalgen, Ökonometrie, Statistik, Computational Finance

K - Volkswirtschaft, Finanzen, Betriebswirtschaft und Management

1. Einleitung 1 1.1. Computational Finance als Entscheidungslehre . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2. Finanzwirtschaftliche Entscheidungsprobleme und Prozesse . . . . . . . . . . . 4 1.2.1. Übersicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.2. Prozesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.3. Der Portfolio- und Risikomanagementprozess . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3. Methoden des Computational Finance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4. Werkzeuge des Computational Finance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.5. Verwandte Disziplinen des CF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.6. Inhalte und Zielsetzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2. Statistik im Computational Finance 23 2.1. Notwendigkeit statistischer Analysen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.2. Rendite als Gegenstand statistischer Analysen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.2.1. Diskrete und stetige Rendite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.2.2. Skalierungen von Renditen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.2.3. Renditen als Zufallsvariablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.3. Analyse von Verteilungen und Verteilungskennzahlen . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.3.1. Deskriptive Statistik, Wahrscheinlichkeitsrechnung und induktive Statistik 35 2.3.2. Häufigkeiten und Histogramm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.3.3. Lagemaße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.3.4. Perzentile und Quantile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.3.5. Streuungsmaße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.3.6. Formmaße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.3.7. Berechnung der Verteilungskennzahlen mit Matlab . . . . . . . . . . . . 50 2.3.8. Boxplots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.4. Risikoverständnis und Risikokennzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 2.4.1. Zweiseitiges versus einseitiges Risikoverständnis . . . . . . . . . . . . . 54 2.4.2. Semivarianz und Lower Partial Moments . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 2.4.3. Value-at-Risk und Conditional-Value-at-Risk . . . . . . . . . . . . . . . 62 2.5. Risikoadjustierte Performancemaße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 2.6. Kovarianz und Korrelation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 2.7. Verteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 2.7.1. PDF, CDF, ECDF und ICDF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 2.7.2. Anpassung von Verteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 IV Inhaltsverzeichnis 2.7.3. Die Normalverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 2.7.4. Die t-Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 2.7.5. Die F-Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 2.7.6. Die Chi-Quadrat-Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 2.7.7. Die Log-Normal-Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 2.7.8. Kerndichteschätzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 2.8. Intervallschätzungen, Konfidenzintervalle und Hypothesentests . . . . . . . . . . 106 2.8.1. Konstruktion einfacher Konfidenzintervalle . . . . . . . . . . . . . . . . 107 2.8.2. Konfidenzintervalle für den Erwartungswert bei normalverteilter Stichprobe110 2.8.3. Konfidenzintervalle für die Varianz bei normalverteilter Stichprobe . . . 111 2.8.4. Bestimmung von Konfidenzintervallen mit Hilfe von Resampling-Verfahren112 2.8.4.1. Begründung und Eigenschaften von Resampling-Verfahren . . 112 2.8.4.2. Berechnung von Schätzern und Konfidenzintervallen mittels Jackknife . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 2.8.4.3. Bootstrapping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 2.8.5. Hypothesentests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 2.8.6. Kolmogorov-Smirnov-Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 2.9. Zwischenfazit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 3. Optimierung im Computational Finance 137 3.1. Optimierung im Computational Finance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 3.2. Lineare Optimierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 3.2.1. Allgemeine Struktur eines linearen Optimierungsproblems . . . . . . . . 141 3.2.2. Die Formulierung eines linearen Optimierungsproblems in Matlab . . . . 143 3.2.3. Bestimmung eines optimalen Tracking-Portfolios mit linearer Optimierung145 3.3. Quadratische Optimierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 3.3.1. Das quadratische Optimierungsproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 3.3.2. Die Formulierung eines quadratischen Optimierungsproblems in Matlab . 154 3.3.3. Bestimmung eines effizienten Portfolios . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 3.3.4. Berechnung der Effizienzkurve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 3.3.5. Bestimmung eines nutzenoptimalen Portfolios . . . . . . . . . . . . . . 162 3.3.6. Bestimmung eines optimalen Tracking-Portfolios mit quadratischer Optimierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 3.4. Nichtlineare Optimierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 3.4.1. Einführung und Überblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 3.4.2. Allgemeine nichtlineare Optimierung ohne Nebenbedingungen . . . . . . 178 3.4.2.1. Formulierung eines nichtlinearen Optimierungsproblems ohne Nebenbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 3.4.2.2. Portfolioplanung mittels Erwartungsnutzenmaximierung . . . . 183 3.4.3. Allgemeine nichtlineare Optimierung mit Nebenbedingungen . . . . . . 189 3.4.3.1. Formulierung eines nichtlinearen Optimierungsproblems mit Nebenbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 3.4.3.2. Index-Tracking mit Regression unter Nebenbedingungen . . . 194 3.4.3.3. Bestimmung des Maximum-Sharpe-Ratio-Portfolios (Tangentialportfolio) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 3.4.3.4. Telser-Optimierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 3.4.3.4.1. Telser-Optimierung bei normalverteilten Portfoliorenditen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 3.4.3.4.2. Telser-Optimierung mit t-verteilten Portfoliorenditen 207 Inhaltsverzeichnis V 3.4.3.4.3. Exkurs: Verbesserung der Telser-Optimierung mit t-verteilten Portfoliorenditen . . . . . . . . . . . . . 210 3.5. Exkurs: Approximation von Gradient und Hesse-Matrix . . . . . . . . . . . . . . 213 3.6. Zwischenfazit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 3.A. Benutzerdefinierte Optimierungsfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 3.A.1. Wrapper-Funktionen zur Optimierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 3.A.2. Implementation der linearen Optimierung . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 3.A.3. Implementation der quadratischen Optimierung . . . . . . . . . . . . . . 222 3.A.4. Implementation der nichtlinearen Optimierung ohne Nebenbedingungen . 223 3.A.5. Implementation der nichtlinearen Optimierung mit Nebenbedingungen . 228 4. Ökonometrie im Computational Finance 237 4.1. Einführung und Überblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 4.2. Regressionsanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 4.2.1. Das Grundmodell der Regressionsanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 4.2.2. Gewöhnliche Kleinste-Quadrate-Schätzung . . . . . . . . . . . . . . . . 244 4.2.3. Gütemaße der Regressionsanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248 4.2.4. Diagnostische Tests des geschätzten Regressionsmodells . . . . . . . . . 252 4.2.4.1. Tests auf Autokorrelation der Residuen . . . . . . . . . . . . . 252 4.2.4.2. Test auf Heteroskedastizität in den Residuen . . . . . . . . . . 254 4.2.4.3. Test auf Normalverteilung der Residuen . . . . . . . . . . . . 256 4.2.4.4. Test auf Multikollinearität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258 4.2.4.5. Implementation der diagnostischen Tests . . . . . . . . . . . . 259 4.2.5. Stationarität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260 4.3. Fallstudie zur Performanceanalyse mittels Regressionsanalyse . . . . . . . . . . 266 4.3.1. Selektion und Timing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267 4.3.2. Ermittlung des Jensens-Alpha (Selektionsfähigkeit) . . . . . . . . . . . . 270 4.3.3. Ermittlung der Timing-Fähigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272 4.4. Maximum-Likelihood-Schätzung (MLE) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273 4.4.1. MLE bei normalverteilten Residuen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274 4.4.2. Lineare Regression mit t-verteilten Residuen . . . . . . . . . . . . . . . 281 4.4.3. Exkurs: GARCHX-Modelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283 4.5. Variablenselektion im linearen Regressionsmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . 292 4.5.1. Überblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293 4.5.2. Kreuzkorrelationsanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294 4.5.3. Backward . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299 4.5.4. Forward . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301 4.5.5. Stepwise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302 4.5.6. Exkurs: Variablenselektion über Residuenanalyse . . . . . . . . . . . . . 304 4.6. Fallstudie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306 4.6.1. Grundlegende Vorüberlegungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308 4.6.2. Statische Modellentwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312 4.6.3. Backtest des statischen Prognosemodells . . . . . . . . . . . . . . . . . 320 4.6.4. Nachschätzung der Modellparameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328 4.7. Zwischenfazit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330 5. Stochastische Simulationen im Computational Finance 333 5.1. Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334 5.1.1. Zweck von stochastischen Simulationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334 VI Inhaltsverzeichnis 5.1.2. Aufbau von Simulationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335 5.2. Erzeugung von Zufallszahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337 5.2.1. Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339 5.2.2. Inversionstransformationsmethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340 5.2.2.1. Theoretischer Hintergrund . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340 5.2.2.2. Zufallszahlen aus theoretischen Verteilungen . . . . . . . . . . 341 5.2.2.3. Zufallszahlen aus empirischen Verteilungen . . . . . . . . . . 348 5.2.2.4. Testen der Güte von Zufallszahlen . . . . . . . . . . . . . . . 352 5.2.2.5. Stichprobenfehler gleichverteilter Zufallszahlen . . . . . . . . 360 5.3. Stochastische Prozesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365 5.3.1. Univariate Prozesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368 5.3.1.1. Standard-Random-Walk-Prozesse . . . . . . . . . . . . . . . . 368 5.3.1.2. Prozesse mit Contagion–Effekten . . . . . . . . . . . . . . . . 373 5.3.1.3. Prozesse mit adaptivem Lernen . . . . . . . . . . . . . . . . . 375 5.3.2. Multivariate Prozesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378 5.3.2.1. Cholesky-Zerlegung bei normalverteilten Zufallsvariablen . . . 379 5.3.2.2. Cholesky-Zerlegung bei nicht positiv semidefiniter Korrelationsmatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382 5.3.2.3. Cholesky-Zerlegung bei nicht normalverteilten Zufallsvariablen 383 5.3.2.4. Faktormodelle in der Simulation . . . . . . . . . . . . . . . . 385 5.3.2.4.1. Vorüberlegungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385 5.3.2.4.2. Hauptkomponentenanalyse . . . . . . . . . . . . . . 387 5.4. Fallstudien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393 5.4.1. Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393 5.4.2. Eigenschaften von Risikokennzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396 5.4.2.1. In-Sample-Eigenschaften von Risikokennzahlen . . . . . . . . 397 5.4.2.2. Out-of-Sample-Eigenschaften von Risikokennzahlen . . . . . . 399 5.4.2.3. Hypothesentests im Backtesting . . . . . . . . . . . . . . . . . 402 5.4.2.3.1. Boostrapbasierte Hypothesentests . . . . . . . . . . 403 5.4.2.3.2. Statistische Hypothesentests . . . . . . . . . . . . . 406 5.4.2.4. Eigenschaften von Risikokennzahlen bei Shift-Contagion- Effekten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410 5.4.3. Eigenschaften von Handelsstrategien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413 5.4.3.1. Grundlagen der CPPI und historische Analysen . . . . . . . . 413 5.4.3.1.1. CPPI unter Variation des Floorstartwerts . . . . . . . 415 5.4.3.1.2. CPPI unter Variation der Floorverzinsung . . . . . . 417 5.4.3.1.3. CPPI unter Variation des Multiplikators . . . . . . . 419 5.4.3.1.4. CPPI unter Variation der betrachteten Zeitperiode . . 421 5.4.3.1.5. CPPI und der Value-at-Risk . . . . . . . . . . . . . . 424 5.4.3.2. Erweiterungen der CPPI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426 5.4.3.2.1. CPPI mit Handelsbeschränkungen . . . . . . . . . . 427 5.4.3.2.2. CPPI mit laufenden Einzahlungen . . . . . . . . . . 428 5.4.3.3. Eigenschaften der CPPI in Simulationen . . . . . . . . . . . . 430 5.4.3.3.1. CPPI-Simulation mit Bootstrapping . . . . . . . . . 430 5.4.3.3.2. CPPI-Simulation mit Cholesky-Zerlegung unter Normalverteilungsannahme . . . . . . . . . . . . . . . . 434 5.4.3.3.3. CPPI-Simulation mit Cholesky-Zerlegung ohne Normalverteilungsannahme . . . . . . . . . . . . . . . . 435 5.5. Zwischenfazit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437 Inhaltsverzeichnis VII 5.A. Künstliche Daten im Buch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437 5.A.1. Künstliche Daten zur Performanceanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . 437 5.A.2. Künstliche Daten zur Portfoliooptimierung . . . . . . . . . . . . . . . . 438 5.A.3. Künstliche Daten zum Index-Tracking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439 5.A.4. Künstliche Daten zum Marktmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440 5.A.5. Künstliche Daten zur Kreuzkorrelationsanalyse . . . . . . . . . . . . . . 440 5.A.6. Künstliche Daten zur Finanzprognose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441 6. Simulation von Geschäftsprozessen 443 6.1. Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443 6.2. Simulation des Portfoliomanagementprozesses . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445 6.2.1. Konzeption eines einfachen Simulationsmodells . . . . . . . . . . . . . 446 6.2.2. Simulierte Finanzanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448 6.2.2.1. Rollierende Modellneuentwicklung . . . . . . . . . . . . . . . 449 6.2.2.2. Renditeprognosen für mehrere Assets . . . . . . . . . . . . . . 452 6.2.3. Simulation der Kapitalallokation und Performancemessung . . . . . . . . 459 6.2.4. Optimierung des Portfoliomanagementprozesses durch Kombimodelle . . 462 6.2.5. Schlussbetrachtungen und Ausblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464 6.3. Zwischenfazit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465 A. Matlab Grundlagen 473 A.1. Vorbemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473 A.2. Matlab und Matlab Klone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473 A.3. Matlab-Befehle und Matlab-Ausdrücke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474 A.4. Matlab-Skripte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479 A.5. Matlab-Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481 A.6. Datenstrukturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483 A.6.1. Matrizen, Arrays und Indizierungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483 A.6.2. Strings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 487 A.6.3. Cell-Arrays . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 489 A.6.4. Struct . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491 A.6.5. Logicals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493 A.7. Kontrollstrukturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495 A.7.1. Verzweigungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495 A.7.2. Schleifen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 497 A.7.3. Try-Catch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 499 A.8. Datenim- und -export . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501 A.9. Export eines Cell-Arrays als CSV-Datei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 507 A.10.Datenimport aus und Datenexport nach .txt-Datei . . . . . . . . . . . . . . . . . 508 A.11.Tipps zur Matlab-Programmierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 509 A.11.1. Programmierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 509 A.11.2. Dokumentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 510 A.11.3. Suchpfade und Benennungskonventionen . . . . . . . . . . . . . . . . . 511 A.12.Wrapper-Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513

240 mm

17 cm